2017年江西农业大学食品科学与工程学院701数学之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明
：
【答案】由又因为所以得
进一步由
得
2． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，
即对任意的实数
与X 有相同的偏度系数与峰度系数.
【答案】因为j
所以
即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为
所以Y 与X 有相同的峰度系数.
3． 设
是来自两参数指数分布
的样本, 证明（
）是充分统计量.
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
4． 设总体概率函数是p （x ; 0）, g （θ）的任一估计
令
们只需要考虑基于充分统计量的估计.
【答案】我们将均方误差作如下分解
注意到
这说明
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, 由因子分解定理,
是其样本，
，证明：
是的充分统计量• 是θ的充分统计量，则对
这说明，在均方误差准则下，人
于是
因而
5． 如果
【答案】记因为令而
由M 的定义即可知当
_时, 有
因而
6． 设为一事件域，
若
试证： （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算【答案】（1）因为（2）构造一个事件序列
由此得
为一事件域，所以
其中
故其对立事件
, 由的任意性知
结论得证.
, 所以有
而对于
, 试证:
与X 的分布函数分别为
, 故存在, 因为
, 使当, 故存在
和时, 有
使当
, 时, 有
. 对任给的
取足够大的
和
使
是F （x ）的连续点, 且
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（3）因为（4）因为（5）因为
所以
所以
所以
由
由
由（3）（有限交）得
得得
，则这说明
7 设T 是g ，（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若．
【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE
，即
即
且
的无偏估计，故其差
由判断准则知
是0的无偏估计，
8． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?
【答案】设共投掷n 次，记事件则
由
得
两边取对数解得
所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点
为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.
数为6的概率大于1/2.
9． 设X 为非负连续随机变量，若
（1）（2）
存在，试证明：
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利
用
得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以
也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
则
10．[1]如果
试证: （1）
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