2017年江西农业大学食品科学与工程学院701数学之概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.
【答案】设总体玛分布
，其密度函数为
则的后验分布为
，其中已知，
为其样本，取
的先验分布为倒伽
即
这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差（均
值已知）的共轭先验分布.
2． 设是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，
（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是
的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为
由此可见（2）
是的无偏估计.
是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为
由此可见
（3）反证法，倘若
是p （1-p ）的一个无偏估计.
是1/p的无偏估计，则有
或者
上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在.
3． 设二维随机变量
服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为
是来自该总体的样本, 证明:
二维统计量
该二元正态分布族的充分统计量.
【答案】该二元正态分布的密度函数为
此处,
故
从而
注意到
上式可化解为
于是样本的联合密度函数为
由因子分解定理知, 结论成立.
4． 总体
（1）证明
其中θ＞0是未知参数，又是参数的无偏估计和相合估计；
为取自该总体的样本，为样本均值.
是
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？
【答案】（1）总体则从而
于是，这说明是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计. （2）似然函数为为
因而θ的最大似然估计为
下求
的均值与方差，由于x （n ）的密度函数为
故
从而
这说明
不是θ的无偏估计，而是θ的渐近无偏估计. 又
因而
5． 设
是θ的相合估计. 是来自
的样本,
是来自
的样本, 两总体独立.c , d
显然L （θ）是θ的减函数，且θ的取值范围
是任意两个不为0的常数, 证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立, 故
, 与分别是两个样本方差.
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