2017年江西农业大学食品科学与工程学院701数学之概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设总体
【答案】
由于总体
均方误差为
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当
时，
最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差. 2 设分别自总体．
试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.
【答案】由已知条件有
且
独立. 于是
故
这证明了又
是的无偏估计.
从而
因而当
时，Var （Z ）达到最小，此时
这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为本，上述是
的线性无偏估计类
中方差最小的.
的样
该无偏估计为
是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合
下存在优于的估计. 现考虑形如
的估计类，其
所以
估计和无偏估计，试证明在均方误差准则
中抽取容量为，的两独立样本其样本方差分别为
都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）
3． 设计.
独立同分布，，证明：是的相合估
【答案】由于
这就证明了
，是的相合估计.
则X 与Y 有函数关系. 试证:X
4． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.
【答案】因为
所以
即X 与Y 不相关.
5． 设随机变量X 〜b （n ，p ），试证明
：
【答案】
6． 设
是来自
的样本,
是来自
的样本, 两总体独立.c , d
是任意两个不为0的常数, 证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立, 故
, 与分别是两个样本方差.
于是
7． 设分布函数列
【答案】对任意的对取定的N , 存在因而存在
因此有
由
的任意性知
结论得证.
8． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的
有
使当
使有时, 任对
, 有
弱收敛于分布函数且
和都是连续、严格单调函数,
又设
关于x 是一致的,
服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:
对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有
存在充分大的M , 使有
对取定的h , 因为
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则