2017年新疆师范大学应用数学(同等学力加试)之概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 有人称某地成年人中大学毕业生比例不低于30%, 为检验之，随机调查该地15名成年人，发现有3名大学毕业生，取成年人中的大学毕业生人数，则
检验的拒绝域为
若取
问该人看法是否成立？并给出检验的P 值.
待检验的一对假设为
由于
由于观测值为3, 未落入拒绝域中，所以接受原假
【答案】这是关于比例的假设检验问题，以p 表示成年人中的大学毕业生比例，X 表示15名
故取c=l，从而检验的拒绝域为设，不能否定该人的看法.
此处计算检验的P 值更容易一些，事实上，若以X 表示服从二项分布b （15, 0.3）的随机变量，则p 值为
这个p 值不算小，故接受原假设是恰当的.
2． 设随机变量X 的分布函数为
【答案】因为X 为非负连续随机变量，有
由此得
所以
试求E （X ）和W （X ）.
注，此题也可直接计算得，
3． 一个人的血型为A ，B ，AB ，0型的概率分别为0.37，0.21，0.08，0.34. 现任意挑选四个人，试求：
（1）此四人的血型全不相同的概率； （2）此四人的血型全部相同的概率.
【答案】（1）若第1，2，3，4人血型依次为A ，B ，AB ，0.
则“四人的血型全不相同”共有种可能情况，而每种情况出现的概率都是
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于是所求概率为
（2）所求概率为
4． 求下列分布函数的特征函数, 并由特征函数求其数学期望和方差.
（1）（2）
【答案】（1
）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为
又因为
所以
（2）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为又因为当t>0时, 有
所以当而当又因为
时, 有时, 有
所以
在t=0处不可导, 故此分布（柯西分布）的数学期望不存在.
是样本，试求未知参数的最大似然估计.
已知；
的似然函数为
尽可能大. 由于c ＞0, 故
是的单调增由此给出的最
5． 设总体概率函数如下，
（1）（2）（3）
【答案】（1）样本要使
达到最大，首先示性函数应为1，其次是
函数，所以的取值应尽可能大，但示性函数的存在决定了的取值不能大于
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大似然估计为
（2）此处的似然函数为
其对数似然函数为
由上式可以看出，限制然方程
解之
（3）设有样本于θ的单调递减函数，要使得到
其似然函数为
达到最大，应尽可能小，但由限制
因而的最大似然估计为
由于
的主体
是关可以
是的单调增函数，要使其最大，μ的取值应该尽可能的大，由于
将
关于求导并令其为0得到关于的似
这给出的最大似然估计为
, 这说明θ不能小于
6． 某人声称他能根据股票价格的历史图表预报未来股市的涨跌，若在一场测试中，他共作了10次预测，报对8次.
（1）在显著性水平0.05下，能否相信他具有这种能力？ （2）对什么样的显著性水平，可相信他具有这种能力？
【答案】我们先对问题作一简单分析：若该人有预测能力，则他预测正确的概率应该大于1/2, 若他没有预测的能力，则他胡乱猜测也有50%猜对的可能，现以X 表示他预测10次预测正确的次数，则
要检验的一对假设为
若拒绝原假设，则可相信该人有预报能力，否则不能相信他有预报能力，由于检验拒绝域形如
故检验的p 值为
对此p 值作一些讨论：
（1）由于检验的p 值大于显著性水平
对具体可算出
故应不拒绝原假设，不能相信他具有预报未来
的值，如
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股市的涨跌的能力，在不拒绝原假设时可能犯第二类错误，犯第二类错误的概
率
则