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一、证明题

1． 设

是来自

的样本，

为其次序统计量，令

证明【答案】令作变换

相互独立.

则

的联合密度函数为

其中

联合密度函数为

其雅可比行列式绝对值为

该联合密度函数为可分离变量，因而相互独立，且

2． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式

（1）（2）（3）

:

【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.

（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N —m+1次必取到白球，若记P k 为第k 次取到白球的概率，则有

且

即

对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.

（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.

3． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:在区间

【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当当

的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数

的图形知它的最大值是

是不可能事件, 所以

是Y 的分布函数的分段点. 时, 时, 则

当

时,

代入函数

上服从均匀分布.

下面求Y 的分布函数

综上所述, 得到Y 的分布函数为上式恰好是区间即证明了

4． 总体

（1）证明

上服从均匀分布的随机变量的分布函数, 在区间（0, 1）上服从均匀分布. ，其中

是未知参数，又

为取自该总体的样本，

为样本均值.

是参数的无偏估计和相合估计；

，则

，从而

（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体

于是，，这说明是参数的无偏估计. 进一步，

这就证明了也是的相合估计.

（2）似然函数为且的取值范围为

，显然是的减函数，

’因而的最大似然估计为

下求的均值与方差，由于的密度函数为

故

从而

这说明

不是

的无偏估计，而是的渐近无偏估计. 又

因而

5． 设X 为非负连续随机变量，证明:对x ≥0,

有

【答案】设X 的密度函数为p （X ），则有

6． 证明:若明:

与

是未知参数

的两个UMVUE , 则

依概率几乎处处成立. 这个命题表

.

是

的相合估计.

的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出于是

几乎处处成立.

对一切的

存在，

是0的无偏估计，则已知

由此立即可得

7． 设总体的概率函数证明费希尔信息量

几乎处处成立，即

的费希尔信息量存在，若二阶导数

【答案】记，

，则