2017年东华理工大学信息工程学院601高等数学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设函数
A. a＜-2 B. a＞2 C. -2＜a ＜0 D. 0＜a ＜2 【答案】D 【解析】因为
（1）先讨论
①当a-1≤0时，即a ≤1时为定积分； ②当a-1＞0时，
③当a-1≥1时，即a ≥2时发散. （2）再讨论反常积分因为
①当a ＞0时，此反常积分收敛； ②当a ≤0时，此反常积分发散。 由（1）（2）知，若反常积分
收敛，则0＜a ＜2.
.
为无界函数的反常积分，且当a-1＜1，即1＜a ＜2时收敛；
.
，若反常积分
收敛，则（ ）.
2． 设a 、b 为非零向量，且a ⊥b , 则必有（ ）。
【答案】C
【解析】由向量与平面几何图形之间的关系可知，a ⊥b 时, 以a , b 为边得四边形为矩形，
且与
均是该矩形的对角线长，则必有
3． 函数
A.-i B.i C.-j D.j 【答案】D 【解析】
在点处的梯度向量为（ ）。
，则
4． 已知为某函数的全微分，则a=（ ）。
【答案】B
【解析】由题意可知，
，即
解得
5． 曲面
【答案】B
【解析】由几何意义可知，球面处的切平面与平面
球
面
在
点
的法向量
为
。将其代入
，得
。 上到平面
距离最大的点为（ ）。
上到平面
平行，且在第七卦限。
处的法向量
为
则
距离最大的点
，平
面
即
由于所求点在第七
卦限，则所求点为
6． 己知幂级数
A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散
D. 敛散性不能确定 【答案】B 【解析】显然幂级数
。
在x=2处条件收敛，则幂基数在x= -π处（ ）。
x=2的收敛半径为2，由该幂级数在x=-2处条件收敛可知，
，该幂数在x=2处发散，
为其收敛区间的一个端点，则a=0或a=4。若a=0，则原幂级数为与题设矛盾；若a=4，则原幂级数为
，该幂级数在x=2处条件收敛，则a=4
。幂级数
的收敛半径为1，中心为-4，收敛区间为（-5, -3）, x=-π在其
收敛区间内，故绝对收敛。
二、填空题
7．
【答案】
【解析】由题意得
8． 函数则
由关系式_____。 【答案】【解析】若要求有
的关系式，故令
对自变量的偏导，则需将关系式
，则
在x=0处的泰勒展开式为_____。
确定，其中函数可微，且，
转化为只含
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