2017年哈尔滨工业大学概率论与数理统计复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量x 与y 相互独立，x 的概率分布为
，记Z=X+Y。
（I
）求【答案】 （I
）
（II ）设z 的分布函数为F （z ），则其值为非零时z 的取值区间为[-1，2]。 当z<-1时，F （z ）=0； 当z>2时，F （z ）=0；
当
所以z 的分布密度函数为
2． 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时. 它的密度函数为
（1）确定常数c ； （2）写出X 的分布函数；
（3）试求在20分钟内完成一道作业的概率； （4）试求10分钟以上完成一道作业的概率. 【答案】（1）因为由此解得c=21.
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Y
的概率密度为
（II ）求X 的概率密度f （z ）。
时，
（2）当x<0时，当
时，
当x>0.5时，所以X 的分布函数为
（3）所求概率为（4）所求概率为
3． 某种福利彩票的奖金额X 由摇奖决定, 其分布列为
表
若一年中要开出300个奖, 问需要多少奖金总额, 才有95%的把握能够发放奖金. 【答案】记
为第i 次摇奖的奖金额, 则可得.
. 设奖金总额为k , （万元）
根据题意可列如下不等式
再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
由此查表得
, 从中解得
, 取
（万元）即可.
这表明:该福利彩票一年开出300个奖需要准备9488万元, 才能以95%的把握够发奖金.
4． 某餐厅每天接待400名顾客, 设每位顾客的消费额（元）服从（20, 100）上的均匀分布, 且顾客的消费额是相互独立的. 试求:
（1）该餐厅每天的平均营业额；
（2）该餐厅每天的营业额在平均营业额±760元内的概率. 【答案】记
为第i 位顾客的消费额, 则
, 所以
而该餐厅每天的营业额为
（1）该餐厅每天的平均营业额为
（2）利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可得
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这表明:该餐厅每天营业额在23240到24760元之间的概率近似为0.90.
5． 设二维随机变量（X , Y ）在矩形
求边长分别为X 和Y 的矩形面积Z 的密度函数.
【答案】因为（X , Y ）服从矩形G 上的均匀分布, 所以（X , Y ）的联合密度函数为
又因为面积Z=XY, 所以Z 可在区间（0, 2）上取值, 且Z 的密度函数可用积的公式求得
要使以上被积函数大于0
的区域必须是
, 所以当0 的交集, 此交集为 上服从均匀分布, 试 6． 有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然而从该箱中先后任取两个零件，试求： （1）第一次取出的零件是一等品的概率； （2）在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率. 【答案】记事件为“第i 次取出的是一等品”，i=l，2. 又记事件（1）用全概率公式 （2）因为 所以 7． 用一个仪表测量某一物理量9次，得样本均值 （2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间. 【答案】（1）此处 ，的 置信区间为 从而的置信水平为0.95的置信区间[0.1487，0.4215] （2）当未知时，的 置信区间为 第 4 页，共 18 页 为“取到第i 箱”，i=l，2. ，样本标准差s=0.22. （1）测量标准差大小反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为0.95的置信区间； 查表知