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一、证明题

1． 设总体μ，则

即

将（*）式两端对H 求导，并注意到

有

这说明为证明

即

于是

从而

的UMVUE.

的UMVUE. 【答案】大家知道：

分别是

的无偏估计，设

是0的任一无偏估计，

为样本，证明，

分别为

的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得

由此可以得到的项，有

下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0

这表明这就证明了

由此可得到的UMVUE.

, 且X 与Y

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因而

2． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则

【答案】记

因为

所以由X 与Y 的独立性得

这正是二项分布的特征函数, 由唯一性定理知

都服从区间（0，1）

3． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证

：上的均匀分布.

【答案】因为X 的密度函数为

又因为

，且的可能取值范围是（0，1）

所以

是严格单调减函数，其反函数为

的密度函数为

即又

由

知

也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证.

4． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明：

【答案】

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.

5． 证明公式

其中

【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.

注意到将等式右边的求导可给出_

而对

k=0.

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对

其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,

也为这就证

明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证. 6 设分别自总体，中抽取容量为的两独立样本其样本方差分别为．

试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.

【答案】由已知条件有

且

独立. 于是

故

这证明了又

是的无偏估计.

从而

因而当

时，V ar （Z ）达到最小，此时

这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为本，上述是的线性无偏估计类

7． 设为独立随机变量序列, 且

证明:

服从大数定律.

相互独立, 且

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

所以

中方差最小的.

的样

该无偏估计为

都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）

【答案】因为

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