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一、计算题

1． 设随机变量X 服从正态分布N （10，9），试求

【答案】一般正态分布

所以

2． 甲、乙两人进行象棋比赛，每局甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q=l-p.比赛进行到有一人连胜两局为止，求平均比赛局数.

【答案】设X 为决定胜负所需的局数，X 可取2，3，…等正整数值，事件k-1局时没有一人连胜两局，总是两人轮流胜，所以

利用（1）

（2）

公式，可得

又因为对任意的

总有

故由E （X ）是pq 的严增函数可得

这表明：这种象棋比赛决定最终胜负的平均局数不超过3局，它在两选手势均力敌（p=l/2）时达到上界. 3 在垫片的耐磨试验中，，．关于磨损率有四个样本它们的样本方差与其自由度分别为

现要对“四个总体方差彼此相等”的假设作出判断.

【答案】由于四个样本量不全相等，其中有一个样本量小于5，故选用修正的Bartlett 检验进行方差齐性检验. 为此先计算一些中间结果，它们是

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和

间满足关系式

：

的p 分位数与标准正态分布的p 分位数

表示到第

与样本量误差均方和

由此算得修正的Bartlett 检验统计量

对给定的显著性水平

查表得

由于

故不

拒绝原假设，可认为四个总体方差彼此相等.

4． 设离散随机变量X 服从几何分布以此求E （X ）和

【答案】记

则

. 试求X 的特征函数, 并

它的前二阶导数为

由此可算得几何分布的期望和方差为

5． 某种配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目分别是10，53，46. 按照某种遗传模型其频率之比应为

则要检验的假设为

此处

大似然法估计P. 其似然函数为

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，问数据与模型是否相符？

【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体可分为三类.

若记三类出现的概率分别为

由于含有一个未知参数P ，需要将之估计出来，用最

再微分法可得于是从而

查表知

能拒绝

故拒绝域为

观察结果

6． 设随机变量X 的密度函数如下，试求E （2X+5）

.

【答案】因为

所以

不落在拒绝域，因此不

即可以认为数据与模型是相符的. 此处的P 值为

7． 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率.

【答案】10本书任意地放在书架上所有可能的放法数为10! ，这是分母. 若把指定的四本书看作一本“厚”书，则与其他的6本书一起随意放，有7! 种可能放法，这是第一步，第二步再考虑将这指定的四本书作全排列，共有4! 种可能放法. 故总共有7!×4!种可能放法，这是分子，于是所求概率为

8． 设随机变量X 的分布函数为

【答案】因为X 为非负连续随机变量，有

由此得

所以

试求E （X ）和W （X ）.

注，此题也可直接计算得，

9． 设总体为

为样本, 试求常数k , 使得

【答案】

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