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一、证明题

1． 设

【答案】已知

且满足

.

即

证明

:

有下界又由

可推出

若

则

即

单调递减. 由单调有界定理，在不等式

存在，记为

可知

矛盾.

由此可见

的极限存在，并求出其极限值.

两边，

令

再在不等式

中，令可得

2． 若对任何充分小的

则在

且即

解之得

内连续.

是f 的间断点，令

是f 在区间

上的

上连续. 能否由此推出f 在内不连续，则必有某一点

于是

【答案】能. 用反证法. 假如f 在

一个间断点. 这与题设矛盾，故f 在内连续.

3． 设f 为定义在D 上的有界函数，证明：

⑴(2)

【答案】(1)

设

使得

(2) 同理可证.

4． 设f 为R 上的单调函数，定义

证明在R 上每一点都右连续.

极限

都存在. 于

即

. 则对一切

有

所以

即

对任意

存在

【答案】设f 为R 上的单调增函数. 根据单调有界原理，对一切

是，g 的定义域是R ,

由于

即

就有

即当

对于任给的

于是，当时

存在

使得当

时，把y 限制在

故g (x )

在

时

内，

右连续.

由的任意性知，g 在R 上每一点都右连续.

5． 试用一致连续的定义证明：若都在区间上一致连续，则

【答案】因为f , g

在区间上一致连续，

所以对任给的

时，

有

则当

当时，有

也在上一致连续. 存在

时，有

使得当

取

故

6． 设

在上一致连续.

的最大零点为所以

证明因此

上恒正或恒负. 即

的

【答案】因为是f (x ) 的最大零点，所以f (x ) 在符号一致. 又因为

二、计算题

7． 设

【答案】(1) 由(2) 设

则

试求

，得

得

8． 半径为r 的球体沉入水中，其比重与水相同. 试问将球体从水中携出需作多少功？

【答案】如图所示，取一水平层的微元，对此微元需作功

图

9． 将函数

在上展开成余弦级数.

【答案】将f (x ) 作周期性偶延拓，得一周期为的连续偶函数

.

所以由收敛定理可得在

10．过点（4，0）作曲线

（1）求切线的方程；

上

的切线.

（2）求由这条切线与该曲线及x 轴所围成的平面图形（如图所示）绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积

图

【答案】⑴令

则

过点（4，0）作曲线

的切线，切线与x 轴交点的横坐标是

即切点的横坐标是

于是切线斜率为

（2）所求的旋转体的体积为

切线方程是