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一、证明题

1． 设

【答案】因为f 为有

又因为

取

故 2． 设

均为定义在上可积时，g 在【答案】设记由于

有

在

上可积. 存在

令

使当

则当

与

上的有界函数. 证明：若仅在上也可积，且在

上的值仅在k 个点

时，

时，有

当

时，

所以上式

中至多仅有k 项不为0, 故

这就证明

3． 证明:若

则.

为.

对任意

上连续，所队有

其中

依次进行下去，可知存在

使得

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证明

使得当

在

时.

内

，

时的无穷大量，所以对任意的M>0, 存在不妨设b>0, 则由函数极限的局部保号性知

.

则当

时，

中有限个点处

处不同，

则当在

在可积，且

上的连续函数，且对一切

有

'

在

有

其中

上存在最大值M.

【答案】

显然

，

而对于上面的

当又

4． 设

时，有连续，所以

有

证明

所以

对一切

【答案】方法一令 变换的雅可比行列式为

所以

方法二因

对内层积分作定积分变换

5． 设

为

上的连续递增函数，则

即可.

使

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则

.

【答案】只要证明由于

单调递增，利用积分第二中值定理，则存在

6．

设

在

上连续，

在内可导

，证明

:

使

【答案】构造辅助函数由于使得整理得

则由罗尔中值定理得，存在

)

由于

从而函数单调，从而原式成立.

注：本题还可以用上下确界的方法做.

二、解答题

7． 求a 、b 使下列函数在x=0处可导：

【答案】由于函数在x=0处可导，从而连续；

由又由

8． 设C 是柱面计算曲线积分

【答案】由斯托克斯公式得

与平面

的交线

a 从x 轴正向看为逆时针方向，

得到b=l: 得到a=0.

I.

9． 求下列函数的导数：

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