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一、证明题

1． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：

[2]设随机变量X 取

值

【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证，

由上题的结论知

[2]仿题[1]有

2． 设X 与Y 是独立同分布的随机变量, 且

试证:

【答案】

3． 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且，

设Z=X-Y。

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的概率分别

是证明

：

其中是未

（I ）求Z 的概率密度

（II

）设（III ）证明故得X 的概率密度为

为来自总体Z 的简单随机样本，求的无偏估计量。

的最大似然估计量；

【答案】（I ）由于X 与Y 相互独立，则Z=X-Y服从正态分布，且

（II

）设

为样本

的观测值，则似然函数为

令故

的最大似然估计量为

解得

故

的无偏估计量。

（III ）由于

4． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：

其中

平方和之间的关系；

（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：

所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为

在实际应用中，人们往往先由变换后的数据求出

然后再据此给出

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是适当选取的常数.

（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差

它们的关系为

总平方和、回归平方和以及残差平方和分别为

（2）由（1）的结果我们知道数据得到的F 检验统计量的值保持不变.

5． 设随机变量序列数, 并求出c.

【答案】因为

, 且

所以由切比雪夫不等式得, 任对即即

6． 设数为

是来自均匀分布

其中

的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.

再由本节第3题知

有

独立同分布, 且

令

, 试证明:

其中（3为常

即说明了由原始数据和变换后

（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须

与

的联合分布为

所以的后验分布为

要使

与

这是一个参数为

与

的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.

（2）若选用后验期望估计，则

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