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一、证明题

1． 设

为来自

的i.i.d 样本，其中

）.

样本的联合密度函数为

两个参数空间分别为

利用微分法，

在

下

于是似然比统计量为

在

时

由于

故只需考虑

的情形，此时A 为

的单

分别为

的MLE.

而在

下

的MLE

为

未知. 证明关于假设

的单侧t 检验是似然比检验（显著水平

【答案】记

调增函数，故此时的似然比统计量A 是传统的t 统计量的増函数，即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域

由t 检验的结论知，

2． 证明

：

【答案】不妨设另一方面，还有

综合上述两方面，可得

3． 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为

则

这就完成了证明.

其

中明,

【答案】令

服从自由度为2的（1）, 则

为样本的次序统计量. 试证分布

的联合密度为

作变换

其雅可比（Jacobi ）行列式为合密度我们可以知道

的联合密度为

从而

由该联

是独立同分布的随机变量, 且

这是指数分布就证明了

4． 设随机变量X 〜b （n ，p ），试证明

：

【答案】

5． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量

【答案】记

则

的分布函数, 我们知道

,

就是

也就是. 这

对一切的存在，

所以另一方面，

这就证明了

6． （1）设布函数

和

分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差

的分

其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数. （2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1）

与

的联合密度函数为

做变换

的联合密度为

由此可以算得

的边际密度为

的分布函数为

（2）对于指数分布

由（1）中结果, 有

7． 同时掷5枚骰子，试证明：

（1）P （每枚都不一样）=0.0926； （2）P （一对）=0.4630；

时, 样本极差的分布函数.

其逆变换为

雅可比行列式绝对值为,

于是

与