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一、计算题

1． 由正态总体N （100, 4）抽取两个独立样本, 样本均值分别为, 样本容量分别为15, 20, 试求

【答案】由条件得即

, 于是

2． 设总体4阶中心矩

存在, 则对样本方差

, 有

其中

为总体X 的方差.

并以

简记从1到n 的求和, 于是

由于诸间相互独立, 且

所以,

故

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且相互独立, 从而

【答案】为书写方便起见, 记

3． 三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5，1/3，1/4.求此密码被译出的概率.

【答案】记事件

为“第i 个人译出密码”，i=l，2，3，B 为“密码被译出”.则

注：互不相容可简化事件并的概率计算，相互独立可简化事件交的概率计算. 这里为了要利用相互独立性，把事件并在对偶法则下转化为事件交，这一方法以下会经常用到.

4． 设总体密度函数为为检验个样本，并取拒绝域为

试求检验的势函数以及检验犯两类错误的概率.

是检验拒绝原假设的概率，

为

的函数，

为

当当 5． 设试找出

【答案】

独立同分布服从

与t 分布的联系, 因而定出的密度函数.

的联合密度函数为

记

。

时，势函数就是检验犯第一类错误的概率，为

即

在0.5到0.75间变动.

时，1减去势函数就是检验犯第二类错误的概率，它

是

【答案】由定义，检验的势函

数

现观测1

记

取一个n 维正交矩阵A , 其第一行为元素全为

其余元素只要满足正交性即可. 令Y=AX, 则该变换的雅可比行列式为1, 且注意到:

于是

的联合密度函数为

, 第二行为

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由此,

独立同分布于

且

令

则

而

这就建立了与t 分布的联系, 并可定出的密度函数.

6． 某地区成年男子的体重X （kg ）服从正态分布

0.25.

（1）求. 少？

【答案】（1）由

知

由此解得即，

又由

查表知

由此解得

其中

所以“5名中至少有两人体重超过65kg”的概率为

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若已知

各为多少？

（2）若在这个地区随机地选出5名成年男子，问其中至少有两人体重超过65kg 的概率是多

（2）记Y 为选出的5名成年男子中体重超过65kg 的人数，则