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一、计算题

1． 已知随机变量Y 的密度函数为

在给定Y=y条件下, 随机变量X 的条件密度函数为

求概率【答案】因为

所以

2． 某电工器材厂生产一种保险丝，测量其熔化时间，依通常情况方差为400, 今从某天产品中抽取容量为25的样本，测量其熔化时间并计算得差与通常有无显著差异（取

当

时，查表知

下可以认为该天保险丝熔化时间的方差

【答案】本题可归结为关于正态总体方差的双侧检验问题

因此拒绝域为

问这天保险丝熔化时间的方

或

，假定熔化时间服从正态分布）？

此处，检验统计量为

该值没有落入拒绝域内，从而在显著性水平与通常无显著差异.

3． 设与独立同分布, 其共同分布为其中3与13为非零常数.

试求与的相关系数,

【答案】先计算Y 与Z 的期望、方差与协方差

.

然后计算Y 与Z 的相关系数

.

4． 一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？

【答案】设事件A 为“颗骰子掷4次，至少出现一次6点”，则. 为“一颗骰子掷4次，不出现6点”，于是

又设事件B 为“两颗骰子掷24次，至少出现一次双6点”，则瓦为“两颗骰子掷24次，不出现双6点”，于是

从计算结果可以看出：赌徒的感觉是不对的，因为两者的概率相差0.0263，而概率相差0.0263的两个事件，在实际中仅凭感觉很难发现它们的细小差别，只有从理论上才能识别.

5． 假设人体身高服从正态分布，今抽测甲、乙两地区18岁〜25岁女青年身高得数据如下：甲地区抽取10名，样本均值1.64m ，样本标准差0.2m ; 乙地区抽取10名，样本均值1.62m , 样本标准差0.4m. 求：

（1）两正态总体方差比的置信水平为95%的置信区间； （2）两正态总体均值差的置信水平为95%的置信区间. 【答案】设设条件

，

（1）

的

的置信区间为

由此，

为甲地区抽取的女青年身高，

此处

，

为乙地区抽取的女青年身高，由题

m=n=10, 查表得信区间为

的置信水平为95%的置

（2）由（1）方差相等，此时，

查表得

故两正态总体均值差的置信水平为95%的置信区间为

的置信水平为95%的置信区间包含1, 因此有一定理由假定两个正态总体的

还有另一种解法就是不对方差相等作假定，而采用近似方法求均值差的置信区间，由于

从而两正态总体均值差的置信水平为95%的近似置信区间为

这二个置信区间相差不算太小，所以在应用中条件“方差相等”是否成立是要加以考证的. 查表知

6． 有人称某地成年人中大学毕业生比例不低于30%, 为检验之，随机调查该地15名成年人，发现有3名大学毕业生，取成年人中的大学毕业生人数，则

检验的拒绝域为

若取

问该人看法是否成立？并给出检验的P 值.

待检验的一对假设为

由于

由于观测值为3, 未落入拒绝域中，所以接受原假

【答案】这是关于比例的假设检验问题，以p 表示成年人中的大学毕业生比例，X 表示15名

故取c=l，从而检验的拒绝域为设，不能否定该人的看法.

此处计算检验的P 值更容易一些，事实上，若以X 表示服从二项分布b （15, 0.3）的随机变量，则p 值为

这个p 值不算小，故接受原假设是恰当的.

7． 若总体X 服从如下柯西分布：

而

是它的一个样本，试求μ的估计量.

最小，则得

很难说

的一个合适的估计量，因

【答案】由于柯西分布不存在数学期望，因此不能用一阶矩法估计得到μ的估计量. 若用最小二乘法，即使

为这时无偏性、有效性都失去意义，而且

，同分布（读者自行验证）说明也没有起到汇集

的信息的作用，因而，这个估计量的相合性也就无从谈起.

因此，我们转而讨论的最大似然估计. 其似然函数为

其对数似然函数为

对求导可得对数似然方程为