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一、证明题

1． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?

【答案】设共投掷n 次，记事件则

由

得

两边取对数解得

所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点

为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.

数为6的概率大于1/2.

2． 设正态总体的方差为已知值，均值只能取或样本均值. 考虑如下柃验问题

若检验拒绝域取

为

（1）试验证：（3）当

【答案】（1）由于

从而在并且要求

两值之一，为总体的容量n 的

则检验犯第二类错误的概率

为

给定时，有

（2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？

时，样本容量n 至少应为多少？

故检验犯第二类错误的概率为

这给出

也即

从而在

（2）若n 固定，当减小时，而导致增大.

同理可知：当减小时增大.

这说明，在样本量给定时，犯二类错误的概率一个变小另一个就会变大，不可能找到一个使得犯两类错误的概率都变小的检验方案.

（3）由

查表可得

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给定时，有

就变大，由为常量可知就变小，从

于是

将

代入，有

即n 至少应为468.

3． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则

【答案】记这正是二项分布

4． 设

因为

的特征函数, 由唯一性定理知

, 且X 与Y

所以由X 与Y 的独立性得

是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，

（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是

的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为

由此可见（2）

是的无偏估计.

是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为

由此可见

（3）反证法，倘若

是p （1-p ）的一个无偏估计.

是1/p的无偏估计，则有

或者

上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在. 5． 设

为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令

, 证明:则

服从大数定律.

对任意的

因而

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又设, 有

为一列常数, 如果存在

常数c>0, 使得对一切n 有

【答案】不妨设

证明有

所以由马尔可夫大数定律知

6． 设随机变量序列证:

【答案】这时

7． 任意两事件之并

仍为独立同分布, 且

可表示为两个互不相容事件之并，譬如

【答案】⑴

（2）利用加法公式可得

8． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：

【答案】由于其中

代回原式即得证.

存在，所以级数

绝对收敛，从而有

由辛钦大数定律知结论成立.

服从大数定律.

试

独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且

（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明

二、计算题

9． 在一个有n 个人参加的晚会上, 每个人带了一件礼物, 且假定各人带的礼物都不相同. 晚会期间各人从放在一起的n 件礼物中随机抽取一件, 试求抽中自己礼品的人数X 的均值和方差.

【答案】记

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