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一、证明题

1． 设不是有效估计.

【答案】设

是0的任一无偏估计，则

即

将（*）式两端对求导，并注意到

有

这说明

由此可以得到则

从而，进一步，

为的UMVUE.

C-R 下界为

故此UMVUE 的方差达不到C-R

记

求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它

我们将（**）式的两端再对H 求导，得

不等式的下界.

2． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.

【答案】因为令

则

的逆变换为

, 所以

此变换的雅可比行列式为

所以（U , V ）的联合密度函数为

由此得U=XY的边际密度函数为

这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.

3． 设二维随机变量

服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为

是来自该总体的样本, 证明:

二维统计量

该二元正态分布族的充分统计量.

【答案】该二元正态分布的密度函数为

此处,

故

从而

注意到

上式可化解为

于是样本的联合密度函数为

由因子分解定理知, 结论成立.

4． 设

证明： （1）（2）

是

的有效估计； 是

的无偏估计，但不是有效估计.

是

是来自正态总体的一个样本，若均值μ已知，

【答案】（1）由知为了获得的元偏估计的C-R 下界，

需要费希尔信息量，大家知道，正态分布的密度函数p （x ）的对数是

由此得的费希尔信息量

从而的无偏估计的C-R 下界为

是

的有效估计.

此下界与上述无偏估计的方

差相等，故此

（2）由于

可见，

即是的无偏估计，其方差为

为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于

从

而

的元偏估计的C-R 下界

为故

不是

由于无偏估

计

的方

差

的有效估计. 此处

，的无偏估计的C-R

下界与

的方差的比为

该比值常称为无偏估计的效.

5． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=

不相关但不独立. 【答案】因为

与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得

所以X 与

不独立.

所以

这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率

证明:X 与不相关. 为证明X