2017年大连海洋大学畜牧学715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量序列
独立同分布, 其密度函数为
试证:
【答案】因为当x<0时,
有
当
‘所以, 对任意的
时,
有
, 当
所以有
结论得证.
的UMVUE ，证明：对任意的（非零）常数a , b , 分别是
的UMVUE , 故
且对任意一个于是
因此
是
的UMVUE.
则
成立.
3． 设A ，B 为任意两个事件，且
【答案】
4． 验证：泊松分布的均值λ的共轭先验分布是伽玛分布.
【答案】泊松分布的概率函数为数为
对来自泊松分布
的样本
的后验分布为
若的先验分布为伽玛分布，其密度函
是
的
2． 设分别是UMVUE.
【答案】由于
满足
而当时, 有
时,
有
其中常数
, 令
由判断准则知
即的后验分布为
仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值的
共轭先验分布.
5． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.
【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以
6． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（2）因为
（3）因为
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型：一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个
，
则事件=“取出的II 个产品中有k 个不合格品”的概率为
即A ，B 相容.
证明：
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证.
由诸次
互不相容，且
得
把分母移至另一侧即得结论.
注：还有另一种证法：下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
I
（6）在（5）中令a=n，b=n, 则得
再利用（1）的结果即可得证.
7． 设随机变量
（1）（2）
【答案】（1）设所以当即
时,
的密度函数为
即（2）因为以
由此得
所以（X , Y ）的联合密度函数为
与相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明:
和
则
的密度函数为
则
所以
当
是相互独立的标准正态随机变量.
时,
, 所以
又因为
所