2017年湖南师范大学资源与环境科学学院605高等数学基础之高等数学考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 在第一卦限内作椭球面
的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体
的体积最小. 求这切平面的切点，并求此最小体积.
【答案】设切点为
，
曲面在点M 处的切平面方程为
即
于是，切平面在三个坐标轴上的截距依次为面体的体积为
，切平面与三个坐标面所围成的四
在数
的条件下，求V 的最小值，即求分母的最大值。作拉格朗日函
令
，并由约束条件
从而
于是，得可能极值点四面体的最小体积为
2． 计算下列对面积的曲面积分：
，其中为平面
，其中为平面
，其中为球面
，其中为锥面
的部分。
【答案】（1）在上，直线
上上被柱面
在第一卦限中的部分；
。由此问题的性质知，所求的切点为
，得
，
在第一卦限中的部分；
的部分；
所截得的有限
。在xOy 面上的投影区域D xy 为由x 轴、y 轴和
所围成的三角形闭区域，因此
（2）在上，成的三角形闭区域。因此
。在xOy 面上的投影区域为由x 轴、y 轴和直线所围
（3）
在
上
，
，
在
xOy
面上的投影区
域
。由于积分曲面关于yOz 面和zOx 面均对称，故有
于是
（4）如图所示，在xOy 面上的投影区域D xy 为圆域而函数xy 和yz 关于y 均为奇函数，故
。由于关于zOx 面对称，
图
于是
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