2018年贵州民族大学理学院616数学分析B考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为
内的递增函数. 证明
:在由
内单调递增, 取知
’
使得
, 故
类似可证
2．
设级数
与级数\
都发散，
试问
与
两级数均发散，但又如，（2）当
与
，即
，两级数均发散，且均非负时，则
收敛.
发散.
一定发散. 这是因为:由
而由
与
非负有
由柯西准则知
发散.
3． 证明施瓦茨不等式:若f （x ）和g （x ）在[a, b]上可积, 则
【答案】
, 因为
所以
若
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与都存在, 且
.
【答案】
对对
, 即在内有上界, 取
, 则当
从而有上确界, 记
, 由上确界定义知
时有
,
一定发散吗？又若与都发散时
，
都是
非负数，则能得出什么结论？
【答案】（1）
当
不一定发散.
如
发散知存在
吋任意自然数N ，总存在自然数m （m>N）和p 使
. 即
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f x ）=0, 等式成立; 若则（即
故
4
．
设
证明对于这样的当
故
所以对任给的
时,
5． 证明下列级数的收敛性，并求其和:
（1
）（2
）
（3）（4）（5
）
【答案】
（
1）
所以原级数收敛，且和数（2）
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页
, 上式是关于t 的二次三项式,
且非负, 于是有判别式,
【答案】因
为, 存在使得当因此
时
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所以原级数收敛，且和数
（
3）
所以原级数收敛，
且和数
（4
）
，所以原级数收敛，且和数
（5）考察
两式相减得
故原级数的前n 项和
，所以原级数收敛且和数
6． 证明
:对任何
（1）（2）
并说明等号何时成立. 【答案】（1）由三角不等式当且仅当（2）当且仅当
时, 等号成立.
时, 等号成立.
可知,
有
.
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