2018年杭州电子科技大学理学院601数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若级数
收敛
,
绝对收敛, 则级数收敛, 则其部分和数
列
也收敛.
有界. 设存在正数M , 使
得
【答案】因为级
数
又因为即
收敛, 从而
绝对收敛, 由阿贝尔变换知
又由即
, 收敛可知收敛. 设
则
所以
即
2． f （x
）在
收敛.
. 上有连续二阶导数，且
，令
证明：
收敛.
【答案】由题设，对n=1, 2，…，有
由在上有连续二阶导数，知. 于是，
sinnx :在上绝对可积，即存在M>0, 使得
利用比较判别法，由子
3． 证明下列各式
（1）（
2）（3）
（4）
【答案】
（1）令（2）设代入原方程有:
（3）令（4）令
则则
,
因此
因此
4． 证明:若函数f 在点, 使
.
内不存在使
,
使得
. 这与假设矛盾. . 再由f
可得
*
收敛，则级数收敛.
, 则
,
因此
则
上连续, 且,
, 则当
, 则在
时,
内至少有一
（或
【答案】用反证法. 如果在
）总成立. 否则, 若存在
值定理, 存在
设当
, 使得时,
. 根据连续函数的介
故
5． 将函数
【答案】由
这与题
设矛盾. 故
在内至少存在一
点
使
在x=0点展开为幂级数, 并证明此幂级数在[0, 1]上一致收敛.
逐项积分上式得
因为
及
在[0, 1]上连续.
收敛, 则
在[0, R]上一致收敛, 且
若
和函数
在
上有界, 则
收敛
, 还可以逐项积分, 即
根据定理“若
可知级数
6． 设
收敛; 再根据以上定理知幂级数在[0, 1]上一致收敛.
是区间I 上有界且一致连续的函数, 求证:
在区间Ⅰ上有界, 则存在的一致连续性得到, 对于任意
使得存在
使得当
在I 上一致连续.
时, 有
【答案】由于再由
从而
所以
在区间Ⅰ上一致连续.
二、计算题
7． 求不定积分
【答案】方法一: