2017年广州大学数学与信息科学学院834微积分与线性代数之高等数学考研仿真模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 设
为
，其面积为A ，则
_____。
【答案】36A 【解析】由曲面方程
又
将其代入被积函数得
可知，该曲面关于xOy 平面对称，故
。
2． 下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论:
设函数f （x ，y ）在点（0，0）的某邻域内有定义，且则有（ ）.
曲面曲线曲线【答案】（C ）
【解析】函数f （x ，y ）在点（0，0）处的两个偏导数存在，不一定可微分，故（A ）不对. 由于函数存在偏导数不能保证可微分，从而不能保证曲面z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在切平 面，因而（B ）不对; 若z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在连续偏导数，曲，而不是（3，-1，1），故（B ）也不对. 面在该点处有切平面，其法向量是（3，-1，-1）
取x 为参数，则曲线x=x，y=0，z=f（x ，0）在点（0，0，f （0，0））处的一个切向量为（l ，0，3），故 （C ）正确.
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，，
在点在点在点
的一个法向量为
的一个切向量为
的一个切向量为
3． 曲线
【答案】（-l , 0） 【解析】将
上曲率为的点的坐标是_____。
代入曲率计算公式, 有
整理有, 解得x=0或-1, 又, 所以x=-1, 这时y=0
故该点坐标为（-1, 0） 4．
【答案】-2 【解析】令
，则
，故
将 5． 曲面
【答案】【解析】构造函数
将点
代入上式，即可得此点处切平面的法线向量为
6． 直线L ：
【答案】较为简单，即
则有
即所求旋转曲面的方程为
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，则_____。
代入得。
在点
处的切平面方程为_____。
，则
，故切平面方程为
绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为_____。
【解析】求空间直线绕某一坐标轴旋转一周所得的曲面方程，可首先将该直线化为参数方程
7． 若
【答案】【解析】由于
，则
，且
则 8． 直线L ：
【答案】【解析】设有
又因
即
由此式得
（2）式代入（1）式中，得
即
9． 积分
【答案】
的值等于_____。
。
，绕直线L 1：
是1上的一点，当L 绕L 1旋转时，M 0旋转到
此时
旋转一圈所产生的曲线方程是_____。
_____。
【解析】交换积分次序，得
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