2017年成都理工大学计算方法或概率论与数理统计或最优化方法之概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 若在猜硬币正反面游戏中，某人在100次试猜中，共猜中60次，
你认为他是否有诀窍？（取
）.
【答案】设p 为该人猜中概率，则该问题可以归结为如下假设检验问题：
以x 记100次中猜中的次数，则在原假设成立下，x 〜b （100，0.5）, 由于样本量相当大，检验统计量可取为
检验的p 值近似为
因此应拒绝原假设，看来此人猜硬币有某种诀窍.
2． 设
是来自帕雷托（Pareto ）分布
,
的样本（a>0已
在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0, 1），故检验拒绝域
为
知）, 试给出的充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为
令
,
取
, 由因子分解定理
,
或
都是的充分统计量.
3． 一仪器同时收到50个信号, 其中第i 个信号的长度为且都服从（0, 10）内的均匀分布, 试求
【答案】因先-莱维中心极限定理, 可得
设U 是相互独立的,
利用林德伯格
这表明:50个信号长度之和超过300的概率近似为0.0071.
4． 假定电话总机在某单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下：
在显著性水平0.05下能否认为该单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值. 【答案】以X 记电话总机在该单位时间内接到的呼叫次数，可认为设为
而
因而，检验的统计量为若取拒绝原假设.
由于u 在成立时，服从标准正态分布，因而检验的p 值为
5． 自由度为2的分布的密度函数为
【答案】此分布的分布函数F （x ）为：当
所此分布的p 分位
数
6． 试问下列命题是否成立？
（1）（2）（3）（4）
（2）成立的理由是：互不相容两个集合的子集当然也互不相容，（1）（3）（4）不成立，为了说明理由，我们利用减法的一个性质：
（3）不成立是因为由（3）的左端可得（4）不成立的理由是
7． 设总体密度函数为
【答案】对数密度函数为
，则要检验的假
由于n=40较大，故可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是
检验的拒绝域为
则由于u=—2.1落入拒绝域，故
。试求出其分布函数及分位数
时，
当
I 时，
满足
：从中解
得
。由此
得
【答案】（1）不成立是因为由（1）的左端可得
来简化事件.
.
x ＞0, θ＞0，求θ的费希尔信息量I （θ）.
于是
由此给出
8． 设随机变量X 与Y 相互独立, 其联合分布列为
表
试求联合分布列中的a , b , c.
【答案】先对联合分布列按行、按列求和, 求出边际分布列如下:
表
由X 与Y 的独立性, 从上表的第2行、第2列知6=（6+4/9）（6+1/9）, 从中解得b=2/9, 再从上表的第2行、第1列知知:
由此得c=1/6.
从中解得a=1/18, 最后由联合分布列的正则性
二、证明题
9． 设
，试证
：
【答案】因为X 的密度函数为
又因为Y=In X 的可能取值范围为
单调增函数，其反函数为
且
是区间
上的严格
所以Y 的密度函数为
这正是的密度函数.
10．设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:
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