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一、计算题

1．

设

是来自韦布尔分布

,

的样本（m>0已知）, 试

给出一个充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为

若

令理,

是

,

取

的充分统计量.

,

, 由因子分解定

2． —条自动化生产线上产品的一级品率为0.8，现检查5件，求至少有2件一级品的概率.

【答案】记X 为检查5件产品中的一级品数，则

3． 设

（1）（2）【答案】⑴

（2）

4． 某班级学生中数学成绩不及格的比率X 服从a=l，b=4的贝塔分布，试求

【答案】贝塔分布Be （1，4）的密度函数为

且由

知

所求概率为

是来自N （8, 4）的样本, 试求下列概率

5． 假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品. 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的方差.

【答案】记X 为取到合格品之前，已取出的不合格品数，则X 的分布列为

表

由此得

6． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布

试求X 的特征函数. 【答案】设由上一题知

其中

是相互独立同分布的随机变量, 且都服从参数为p 的几何分布

所以X 的特征函数为

7． 从一副52张的扑克牌中任取5张，求其中黑桃张数的概率分布.

【答案】记X 为取出的5张牌中黑桃的张数，则X 的可能取值为0，1，2，3，4，5. 将52张牌分成两类：一类为13张黑桃，另一类为39张除黑桃外的其他花色，则由抽样模型得

8． 设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布, 平均需要10分钟, 且各件产品的组装时间是相互独立的.

（1）试求组装100件产品需要15小时至20小时的概率；

（2）保证有95%的可能性, 问16小时内最多可以组装多少件产品？ 为组装第i 件产品的时间（单位:分钟）, 则由

（1）根据题意所求概率如下, 再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

【答案】记

（2）设16小时内最多可以组装k 件产品. 则根据题意可列出概率不等式

, 则

的特征函数为

又因为

,

知

再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

由此查表捐

, 从中解得k=81.

二、证明题

9． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则

【答案】二项分布因为而

的特征函数为, 所以当

时,

则

正是泊松分布的特征函数, 故得证.

10．设P （A ）>0，试证：

【答案】因为

所以

11．设

是来自

的样本，α＞0已知，试证明，

是

于是

所以λ的费希尔信息量为

这就是说

的任一无偏估计的C-R 下界为

又

这就证明了

是

的有效估计，从而也是UMVUE.

的有效估计，

其中

,

从而也是UMVUE.

【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为