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一、选择题

1． 设向量组

线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

由

线性无关知，

该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于

从而

线性无关，且

因为

2． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

所以向量组矩阵，则则

线性无关.

线性无关.

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 3． 设

其中A 可逆，则A.

B.

=（ ）.

秩

未知量个数，

C.

D. 【答案】C 【解析】因为

4． 设n （n ≥3）阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1

B. C.-1

D.

故

但当a=l时， 5． 设

是非齐次线性方程组

则Ax=b的通解为（ ）•

【答案】B 【解析】因为中

不一定线性无关. 而

由于故

是

因此

线性无关，且都是

知

的解. 是

的特解，因此选B.

所以

因此

不是

的特解，从而否定A , C.但D

的两个不同解，

是

的基础解系，

为任意常数，

【答案】B 【解析】

的基础解系. 又由

二、分析计算题

6． 设V 为欧氏空间，证明：

①若

为V 中互异单位向量，则存在镜面反射T 使

且

故

是单位向量，从而由上

②若V 为n 维，则V 的正交变换可表为若干个镜面反射之积. 【答案】①由假设，题知

是V 的一个镜面反射，且

即

为V 的任一标准正交基，则

也是

②设T 为V 的任一正交变换，V 的一标准正交基

若则若若其中

于是

且可验算有

如此下去，设

则得

7． 设

己知【答案】故

则T 是恒等变换. 此时作镜面反射

于是

与

不全相同，不妨设则

令

于是由①知，存在镜面反射使

结论成立.

否则可设

再作镜面反射

得证.

存在，求