2017年内蒙古师范大学科学技术史研究院831高等数学考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 利用递推公式计算反常积分
【答案】当n ≥1时，故有
。
2． 求过（1，1，﹣l ），（﹣2，﹣2，2）和（1，﹣1，2）三点的平面方程.
【答案】由 3． 设
向导数，并分别确定角
【答案】
，求函数
=0得x －3y －2z=0，即为所求平面方程.
在点（1，1）沿方向l 的方
，使这导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于0.
因为（1）当（2）当（3）当
，所以：
时，方向导数最大，其最大值为时，方向导数最小，其最小值为或
时，方向导数为0。
； ；
4． 在抛物线y=x上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点，作过这两点的割线. 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?
【答案】割线的斜率
2
2
即2x 0=4， 故x 0=2，
假设抛物线上点（x 0，x 0）处的切线平行于该割线，则有由此得所求点为（2，4）。
5． 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴：
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）母线为
； ； ； .
，旋转轴为z 轴.
（2）母线为，旋转轴为y 轴.
（3）母线为，旋转轴为z 轴.
（4）母线为，旋转轴为x 轴
6． 利用高斯公式计算曲面积分：
（1）
成的立体的表面的外侧；
（2）（3）
的表面的外侧；
（4）
围成的立方体的全表面的外侧。
【答案】
，其中为平面所围
，其中为球面的外侧；
，其中为上半球体
，其中是平面所
7． 求下列函数的n 阶导数的一般表达式：
都是常数）;