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一、计算题

1． 从一批服从指数分布的产品中抽取10个进行寿命试验，观测值如下（单位:h ）:

根据这批数据能否认为其平均寿命不低于1100h （取【答案】

指数分布题，待检验的假设为

由样本数据可算得若取

，则查表知

；，故检验统计量为.

，由于拒绝域为

，故接

）？

中是总体均值，所以这是一个关于指数分布参数的假设检验问

受原假设，可以认为平均寿命不低于ll00h.

2． 设是来自分布函数为

的联合条件密度函数.

【答案】次序统计量

密度函数为的一个样本

. 给定时，

是其次序统计量，试求在

联合密度函数为

而后

个次序统计量

的联合密度函数为

故所求的联合条件密度函数为

最后结果表明:所求条件密度函数只与无关. 从而，其分布也仅依赖于

这样一来，条件密度函数

完全可以写成

的给定值

有关，而与

的取值

3． 切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量，其想法是将数据的两端的值舍去，而用剩下的当中的值来计算样本均值，

其计算公式是其中看电视的时间:

取

试计算其切尾均值.

当

时，由题意得，切尾均值

4． 设X 与Y 是独立同分布的随机变量，且

试证:

【答案】

5． 在长为a 的线段的中点的两边随机地各选取一点，求两点间的距离小于a/3的概率.

【答案】记X 为线段中点左边所取点到端点0的距离，Y 为线段中点右边所取点到端点a 的距离，

则

，且X 与Y 相互独立，它们的联合密度函数为

而P （x ，y ）的非零区域

与

的交集为图阴影部分，因此，所求概率为

【答案】将样本进行排序得

是切尾系数

是有序样本.

现我们在某高校采访了16名大学生，了解他们平时的学习情况，以下数据是大学生每周用于

图

6． 设随机变量X 仅在区间

上取值，试证:

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证:

. 由上题的结论知

注:此命题表明有界随机变量的数学期望和方差总是存在的.

7． 设X , Y 相互独立, 其中X 的概率分布为

求【答案】设

故

的概率密度

.

, 而Y 的概率密度为

,

的分布函数为

8． 有两位化验员A 与B 独立的对一批聚合物含氯量用同样方法各进行10次重复测定，其样本方差分别为0.95置信上限.

【答案】在正态分布下，两样本方差比服从F 分布，具体是

从而有

，即

与若A 与B 的测量值都服从正态分布，求其方差比的

，