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一、解答题

1． 已知A 是3阶矩阵，

（Ⅰ）证明

：（Ⅱ

）设

【答案】

（Ⅰ）由同特征值的特征向量，

故

又令即由

线性无关，得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有

线性无关；

（Ⅱ）因为

,

所以

即

线性无关.

求

是3维非零列向量，若线性无关；

且

非零可知，

是A 的个

令

故

2． 已知A

是

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

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又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

由

贝腕阵的列向量（即矩阵

A

的行向量）是齐次线性方程组的解.

对

作初等行变换，有

得到

所以矩阵

的基础解系为

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

对

线性表出，

故可设

作初等行变换，有

于是

则既可由

线性表出，也可

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为 3．

已知

对角矩阵.

【答案】A 是实对称矩阵

，

可得a=2.

此时

是二重根，

故

于是

必有两个线性无关的特征向量，

于是

知

是矩阵

的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q

使

为

其中t 为任意常数.

解（2E-A ）x=0,

得特征向量将

正交化：

解（8E-A ）x=0，

得特征向量先

再将单位化，得正交矩阵：

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且有

4

． 已知

且. 求

故

【答案】由题意知又

又

知

即

得

故

知

二、计算题

5． 用矩阵记号表示二次型：

（1）（2）（3）

【答案】（1）

（2）

（3）

第

4

页，

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页