2017年新疆农业大学草业与环境科学学院610大学数学2之高等数学考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求球面
【答案】在
即
它表示母线平行于z 轴的柱面，故程.
2． 求过点
【答案】
将点
3． 设
【
表示已知交线在xOy 面上的投影的方
与平面x+z=1的交线在xOy 面上的投影的方程.
中消去z ，得
（2，9，﹣6）且与连接坐标原点及点
=（2，9，﹣6）. 所求平面与
的线段，垂直的平面方程. ，设所求平面方程为
垂直，可取n=
2x ＋9y －6z ＋D=O
（2，9，﹣6）代入上式，得D=﹣121. 故所求平面方程为
2x ＋9y －6z －121=0
答
案
4． 利用高斯公式计算曲面积分：
（1）
成的立体的表面的外侧；
（2）（3）
的表面的外侧；
（4）
，其中是平面
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】
，其中为平面所围
，其中为球面的外侧；
，其中为上半球体
所
围成的立方体的全表面的外侧。
【答案】
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5． 设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的闭区域为
，
。
（l ）设向导数的最大值为
也就是说，要在D 的边界线定攀岩起点的位置.
【答案】（l ）由梯度与方向导数的关系知，
在点
处沿梯度
方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以
（2）欲在D 的边界上求g （x ，y ）达到最大值的点，只需
求
达到最大值的点. 因此，作拉格朗日函数
令
又由约束条件，有
，得
式（9-14）+（9-15）
解得若若
或
。
，再由式（9-16）得
。
由于
，故
或
可作为攀岩
的起点。
6． 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（如图所示）。问留下的扇形的中心角取多大时, 做成的漏斗的容积最大?
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小山的高度函数
为
，问f （x ，y ）在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方，试写出
的表达式.
上找出（1）中的g （x ，y ）达到最大值的点. 试确
（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点，
，则由式（9-14）得
，则由式（9-16）得
。
于是得到四个可能的极值点
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