2017年上海理工大学理学院811概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自正态分布
的样本, 证明,
在给定
是充分统计量. 的条件密度函数为
【答案】由条件,
它与
2． 设
无关, 从而为来自
是充分统计量. 的i.i.d 样本，其中
）.
样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法，在
下
于是似然比统计量为
在
时
由于
故只需考虑
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未知. 证明关于假设
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
【答案】记
分别为的MLE.
而在
下的MLE
为
的情形，此时A 为的单
调增函数，故此时的似然比统计量A 是传统的t 统计量的増函数，即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域
由t 检验的结论知，
3． 设
这就完成了证明.
为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为
（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为
则在给出样本
后的后验分布密度函数为
其中
和
其中验分布.
（2
）当已知时，不妨设c
服从伽玛分布
都已知. 则给出样本
即
其中
后c 的后验分布密度函数
因此，
所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先
这说明
4． 设（
【答案】
）是充分统计量.
的联合密度函数为
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证明完成.
, 诸
独立,
是已知常数, 证明
注意到
是已知常数, 令
取
由因子分解定理, （
5． 设
为来自指数分布
）是（的样本，
）的充分统计量. 为来自指数分布
的样本，且两组
样本独立，其中
（1）求假设
是未知的正参数.
的似然比检验；
（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量
在原假设成立下的分布.
【答案】样本的联合密度函数为
参数空间分别为
下参数的最大似然估计
为
则似然比统计量为
而
在
由微分法容易求出在
下参数的最大似然估计
为
由求导可知，函数为
或者
这就证明了（2）的结论.
为先减后増的单峰函数，故此似然比检验拒绝域可等价写
注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得
再注意到
诸
与
诸
间的独立性，在原假
设
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成立下，有如下抽样分布：