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2017年昆明理工大学理学院843高等代数考研导师圈点必考题汇编

  摘要

一、选择题

1. 设

是非齐次线性方程组

的两个不同解,

的基础解系,

为任意常数,

则Ax=b的通解为( )•

【答案】B 【解析】因为中

不一定线性无关. 而

由于故 2. 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同,也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵,易知

B 的特征值为1,1,0,所以A 与B 合同,但不相似.

3. 设则3条直线

(其中

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所以

因此

不是

的特解,从而否定A , C.但D

因此

线性无关,且都是

的解. 是

的特解,因此选B.

的基础解系. 又由

则A 与B ( ).

所以A 的特征值为3,3,0;而

)交于一点的充要条件是( )

.

【答案】D 【解析】令其中

则方程组①可改写为

则3条直线交于一点

线性无关,由秩

线性表出.

方程组①有惟一解

由秩A=2, 可知可由 4. 设

其中A 可逆,则A. B. C. D. 【答案】C

可知线性相关,即可由线性表出,

从而

线性相关,故选D.

=( ).

【解析】因为

5. 设n (n ≥3)阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为( ). A.1 B. C.-1 D.

但当a=l时,

【答案】B 【解析】

二、分析计算题

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6. 设令

V 关于矩阵加法及数乘构成P 上的线性空间,A , B,C , D为P 上固定的n 阶方阵,

故A , B均可逆,令(恒等变换)故可逆

. 或

不妨设

则齐次线性方程组

有非零由(1)知

证明:当C=D=0时,可逆【答案】r 是V 的

线性变换,直接验证可知

反证,

解,故存在使得于是这与可逆矛盾.

7. 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间:

(1)次数等于法;

(3)全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法; (4)平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法; (5)全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:

(6)平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:,数量乘法定义为:(7)集合与加法同(6)(8)全体正实数

加法与数量乘法定义为:

的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法;

(2)设A 是一个n ×n 实矩阵,A 的实系数多项式f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量乘

【答案】(1)否. 该集合中没有零多项式,即没有零元素,故不能构成线性空间. (2)是. 令是实系数多项式. 于是

又V 中元素皆为n ×n 实系数矩阵,矩阵的加法和数量乘法自然满足线性空间的八条性质,故V 构成实数域上的线性空间.

(3)只对全体n ×n 实反对称矩阵证明它对矩阵的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间. 设n ×n 实矩阵A 和B 皆为反对称,即有

故它们都是实反对称矩阵,即全体n ×n 实反对称矩阵的集合对加法和数量乘法都封闭. 又八条运算性质是自然具备的. 故构成实线性空间.

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给定及k 是实数,这时f (x )

,kf (x )=d(x ),贝k (x )及d (x )仍及g (x )是实系数多项式,可令f (x )+g(x )=h(x )