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一、选择题

1． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

即 2．

设

是3维向量空

间的过渡矩阵为（ ）

.

的一组基, 则由

基

到基

由②有

为空间的两组基，且

【答案】（A ）

3． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

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是（ ）二次型.

是不定二次型，故选B.

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B.

4． 设线性方程组的解都是线性方程组

【答案】（C ） 【解析】设

的解空间分别为

的解，则（ ）。

则

所以

即证秩

5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则

也不是线性变换，

比如给

二、分析计算题

6． 设为数域P 上n 维线性空间V 的线性变换，且秩

【答案】设则

是V 的基，且

下面证明存在矩阵B ，使得

因为

所

以

令

则

则

线性变换的存在性的证明是类似的，证明略.

7． 设V 是n 维线性空间

【答案】设先证

只要证

证明：V 的r 维子空间有无穷多个，其中

线性无关. 事实上，若

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则存在V 的线性变换

使

设考虑线性方程组

故

有

解

是V 的基，令

则由次证则由

8． 设

线性无关，则

综上所述结论成立.

是实数，证明：实二次型

正定的充要条件是【答案】因为

线性无关，则有无穷多个，只要答:若

则

故

不然，则

于是

矛盾. 线性无关.

设

注意到 9． 设半正定二次型子空间.

【答案】证法1:由题设，可逆矩阵P , 使

令

分别取

取则

令

有

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于是

的秩为r , 则

旳实数解是

的一个n —r 维