2017年江苏师范大学数学与统计学院847高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
则线性方程组（ ）•
使
因此A 与B 合同.
3． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关
【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 4． 设 A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B 【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知 B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似. 5． 若都是4维列向量，且4阶行列式 【答案】C 【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得 6． 设 求（1） A 的所有特征值与对应的特征向量； （2）找出一个可逆矩阵P ，使得A 与一个对角阵相似； 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 则A 与B （ ）. 所以A 的特征值为3，3，0；而 二、分析计算题 （3）应用A 的特征多项式，求【答案】（1）计算可得 所以A 的特征值为 当 时，得特征向量 且A 属于特征值 （2）的全部特征向量为且A 属于特征值当且A 属于（2）令 则P 即为所求，因为 （3）由①式及凯莱定理知， 所以 7． 设 为根. 【答案】作带余除法由1不是 的根，故 作根的平移，令再作倒根变换，得 得 ，则h （Z ）为所求. 8． 设是欧氏空间V 的线性变换，试证下面命题等价： （1）为正交变换； （2）保持向量长度不变，即对（3）若 为标准正交基底，则 也是标准正交基底. 将 代入上式，得 的全体特征向量组为 当 的全部特征向量为 时，得特征向量 时，得特征向量， 且是fU ）的根，求一个整系数多项式， 使其以
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