2018年中央财经大学金融学院396经济类联考综合能力之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 掷一颗骰子两次，求其点数之和与点数之差的协方差.
【答案】记X 为第一次掷出的点数，Y 为第二次掷出的点数，则X 与Y 独立同分布，
即有
由此得
2． 从指数总体
抽取了40个样品，试求
的均值为
的渐近分布. 方差为
于是的渐近分布为
点数之平均为
【答案】由于指数总体
3． 掷一颗骰子100次，记第次掷出的点数为试求概率
【答案】由题意可得
利用林德伯格-莱维中心极限定理，可得
这表明:掷100次骰子点数之平均在3到4之间的概率近似为
4． 设A ，B ，C 为三事件，试表示下列事件:
（1）A ，B ，C 都发生或都不发生: （2）A ，B ，C 中不多于一个发生； （3）A , B ，C 中不多于两个发生； （4）A , B ，C 中至少有两个发生. 【答案】 （1）（2）（3）（4）
5． 设二维连续随机变量
_
的联合密度函数为
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很接近于1.
试求
当
时，
所以
【答案】先求条件密度函数
由此得
6． 设
是来自均匀分布
的样本，试给出一个充分统计量.
【答案】总体的密度函数为
于是样本的联合密度函数为
即
并取
由因子分解定理，
为参数
的充分统计量.
7． 一批产品的不合格品率为0.02, 现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品. 分别用以下方法求拒收的概率:（1）用二项分布作精确计算；（2）用泊松分布作近似计算.
【答案】记X 为抽取的40件产品中的不合格品数，则
（1）拒收的概率为
（2）因为
. 而“拒收”
就相当于
，所以用泊松分布作近似计算，可得近似值为
可见近似值与精确值相差0.0007, 近似效果较好.
8． 某人想用10000元投资于某股票，该股票当前的价格是2元/股. 假设一年后该股票等可能的为1元/股和4元/股. 而理财顾问给他的建议是:若期望一年后所拥有的股票市值达到最大，则现在就购买；若期望一年后所拥有的股票数量达到最大，则一年以后购买. 试问理财顾问的建议是否正确? 为什么？
【答案】如果现在就购买2元/股，则10000元可购买5000股. 记X 为一年后所拥右的股票市值X 的分布列为
表1
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所以E （X ）=12500元，比一年后购买（市值为10000元）大.
如果一年后购买，记Y 为一年后所购股票数，则10000元等可能地购买10000/1=10000股或10000/4=2500股，所以Y 的分布列为
表
2
由此得E （Y ）=5000+1250=6250（股），比现在就购买（5000股）多. 因此，理财顾问的建议是正确的.
二、证明题
9． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则
【答案】记这正是二项分布
10．任意两事件之并
因为
的特征函数，由唯一性定理知
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得
11．设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且
有
存在，证明:对任意的
，
且X 与Y
所以由X 与Y 的独立性得
（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.
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