2018年中央财经大学金融学院396经济类联考综合能力之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设一个人一年内患感冒的次数服从参数效（能将泊松分布的参数减少为
的泊松分布. 现有某种预防感冒的药对
的人有
），对另外的
的人不起作用. 如果某人服用了此药，一年
内患了两次感冒，那么该药对他（她）有效的可能性是多少？
【答案】记事件A 为“服用此药后，一年感冒两次”，事件B 为“服用此药后有效因为
因此所求概率为
2． 一个系统由多个元件组成，各个元件是否正常工作是相互独立的，且各个元件正常工作的概率为p. 若在系统中至少有一半的元件正常工作，那么整个系统就有效. 问p 取何值时，5个元件的系统比3个元件的系统更有可能有效？
【答案】记X 为5个元件的系统中，正常工作的元件数；Y 为3个元件的系统中，正常工作的元件数.
则
对X 而言，系统有效的概率为
对Y 而言，系统有效的概率为
根据题意，求满足下式的P :
，
即
上述不等式可简化为从而有
，或
或
3． 有两个班级同时上一门课，甲班有25人，乙班有64人. 该门课程期末考试平均成绩为78分，标准差为14分. 试问:甲班的平均成绩超过80分的概率大、还是乙班的平均成绩超过80分的概率大？
【答案】
记
因为
甲班平均成绩超过80分的概率为
同理可计算乙班平均成绩超过80分的概率为
所以甲班的平均成绩超过80分的概率大.
4． 设随机变量X 服从（一1, 2）上的均匀分布，记
试求Y 的分布列. 【答案】因为.
表
2
5． 盒中有n 个不同的球，其上分别写有数字
再抽. 直到抽到有两个不同的数字为止. 求平均抽球次数.
【答案】记X 为抽球次数，则X 的可能取值是又记此得
6． 某电子计算机主机有100个终端，每个终端有互独立的，试求至少有15个终端空闲的概率.
【答案】记X 为100个终端中被使用的终端个数，则心极限定理，所求概率为
为甲班第i 个学生的成绩
，
为乙班第个学生的成绩
，
所以由林德伯格-莱维中心极限定理，
，所以Y 的分布列为
每次随机抽出一个，记下其号码，放回去
且有
由
则服从参数为p 的几何分布，因此
的时间被使用. 若各个终端是否被使用是相
利用棣莫-拉普拉斯中
这表明至少有15个终端空闲的概率近似为
7． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，
即对任意的实数
与X 有相同的偏度系数与峰度系数.
【答案】因为
，所以
即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为
所以Y 与X 有相同的峰度系数.
8． 从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位:mm ）为:
设这批钢管内直径服从正态分布（1）己知（2）若取
未知.
已知时，应采用检验，此时检验的拒绝域为
，由样本数据计算如下结果，
检验统计量未落入拒绝域中，应接受原假设，不能认为（2）当未知时，应采用t 检验，拒绝域为其中检验统计量
查表得
取显著性水平
由样本观测值计算
故接受原假设.
. ，
，
，
查表知
，试分别在下列条件下检验假设（a=0.05）
.
【答案】 （1）当
二、证明题
9． 设T 是
证明:若
【答案】因为T 是即这说明
*
的UMVUE ,
，则，且
是的另一个无偏估计，
的无偏估计，故其差，由判断准则知1
是0的无偏估计，
，
的UMVUE ，是