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一、计算题

1． 已知级数

（1）求出该级数的和 （2）问

取多大，能使当

时，级数的余项

的绝对值小于正数ε

（3）分别讨论级数在区间[0, 1],

在（﹣∞, +∞）上收敛。

，当x=0时，S （0）=0; 当x ≠0时，

该级数的公比为【答案】（1）设该级数的和函数为s （x ）的等比级数，且

故

于是

（2）

当x=0时，

当

时，

，取

（不妨设ε<1）

取N=1，则当n>N时，就有

则当n>N时，

（3）该级数的各项

在区间[0, 1]上是连续的，

如果

在[0, 1]上一致收敛，由定理1知，其和函数s （x ）在[0, 1]上连续，今s （x ）在[0, 1]

有间断点x=0, 由此推知该级数在[0, 1]上不一致收敛。

在区间

上，因为

所以，

取

当n>N时，对一切

即级数在

上一致收敛。

2． 试用幂级数求下列方程满足所给初值条件的特解:

【答案】（1）因

故设方程的特解为

，则

代入方程，有

即

比较系数，得

依次解得

故（2）因

故设

是方程的特解，则

即或写成

代入方程，有

有

比较系数，得

或写成

故

3． 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙，且这两种产品的边际成本分别为两种产品的产量分别为x （件）和y （件）6+y（万元/件）。

（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数C （x ，y ）（万元）;

（Ⅱ）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小? 求最小成本; （Ⅲ）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。 ，

【答案】（l ）假设生产甲乙两种产品的总成本函数为C （x ，y ）由于边际成本是积分得因此又由于

所以总成本函数

（2）总产量为50件，即则

所以当y=26时，C （y ）取最小值11118，此时x=24。 即当x=24，y=26时，总成本最小此时甲产品的边际成本是

（万元/件）与

和，所以可得

，即

，故代入求得

。

。

。

，将代入到C （x ，y ）中

。

（3）当x+y=50且总成本最小时，x=24，y=26。