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一、计算题

1． 求由下列各曲线所围成的图形的面积:

（1）（2）（3）【答案】（1），因此

点为（x ，y ）

注:对于参数方程的处理方式一般可采用本题的方法，首先根据问题化为积分（其中记曲线， 对于积分根据参数方程进行换元，即可化为关于参数的积分，再进行计算. 上的点为（x ，y ））

（3）

2． 判断下列级数的收敛性：

【答案】（1）此级数为公比（2）此级数的部分和

而

故

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（2）由对称性可知，所求面积为第一象限部分面积的4倍，记曲线x=acost ，y=asint 上的

的等比技术，因故该级数收敛。

即该级数发散。 （3）此级数的一般项级数发散。

（4）此级数为公比（5）此级数的一般项等比级数，而收敛。

3． 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线

的柱面方程.

故

与

的等比级数，因

注意到

故该级数发散。

分别是公比

与

的

有

不满足级数收敛的必要条件，故该

均收敛，根据收敛级数的性质可知，原级数

【答案】在过已知曲线的柱面方程.

在

中消去x ，得，即为母线平行于x 轴且通

中消去y ，得，即为母线平行于y 轴且通过已知

曲线的柱面方程.

4． 求图中各画斜线部分的面积：

【答案】（1）解方程组得到交点坐标为（0, 0）和（1, 1）。

如果取x 为积分变量，则z 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为

、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

如果取y 为积分变量，则y 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[y，y+dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为y-y 的的窄矩形面积，因此有

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（2）取x 为积分变量，则易知x 的变化范围为[0，l]，相应于[0，l]上的任一小区间[x，x+dx]

x

的窄条面积 近似于高为e-e 、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

如果取y 为积分变量，则易知y 的变化范围为[l，e]，相应于[l，e]上的任一小区间[y，y+dy]的窄条面积 近似于高为dy 宽为lny 的窄矩形的面积，因此有

（3）解方程组

得到交点坐标为（-3，-6）和（1，2）。

如果取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-3，l]，相应于[-3，1]上的任一小区间[x，x+dx]的

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窄条面积近 似于高为（3-x ）-2x=-x-2x+3、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

如果用y 为积分变量，则y 的变化范围为[-6，3]，但是在[-6，2]上的任一小区间[y，y+dy]的窄条面积近 似于高为dy 、宽为

[y，y+dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为

从这里可看到本小题以x 为积分变量较容易做. 原因是本小题中的图形边界曲线，若分为上下

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两段的话，则为y=2x和y=3-X; 而分为左右两段的话，则为

的窄矩形的面积，在[2，3]上的任一小区间

的窄矩形的面积，因此有

和其中右

段曲线的表示相对比较复杂，也就导致计算形式复杂.

（4）解方程组以x 为积

分变量计算较容易. 取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-1，3]，相应于[-1，3]上的任一小区

2

间[x，x+dx] 的窄条面积近似于高为2x+3-x、底为如的窄矩形的面积，因此有

，与（3）相同的原因，本小题得到交点坐标为（-1，l ）和（3，9）