2018年江西农业大学农学院701数学之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1．
二次型
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】用配方法，有
可见二次型的正惯性指数p=2, 负惯性指数q=0.因此，A 项是二次型的标准形. 所用坐标变换是
：
的标准形可以是（ ）。
即经坐标变换
，有
2．
某五元齐次线性方程组经高斯消元系数矩阵化为
自由变量若取为
那么，正确的共有（ ）。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B
【解析】
因为系数矩阵的秩由于去掉是自由变量.
同理
有
：
故应当有2个自由变量.
因为其秩与
不相等，故
不
两列之后，
所剩三阶矩阵为
不能是自由变量.
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因为行列式 3． 设（
）。
A.3 B.5
C.3 或-5
D.5
或-3 【答案】C
与都不为0, 因此与均可以是自由变量.
若齐次方程组的任一非零解均可以用线性表出
，那么必有
【解析】因为齐次方程组解系只有一个向量
. 因此
有非零解，且芄任一解均可以由线性表出，
说明
对矩阵A 作初等变换有
的基础
可见当
4
．
设向量组
A. B. C.
D.
【答案】D
时
，
均有秩
线性无关，则与向量组
等价的向量组是（ ）。
可以相互表出线性无关知
可排除.
线性相关
可排除.
等秩.
【解析】两向量组等价由
B 项，只有三个向量A 项，因
C 项，因线性相关可排除.
5． n 阶矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量是A 与对角矩阵相似的（ ）。
A. 充分必要条件 B. 充分而非必要条件 C. 必要而非充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A
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【解析】若
即有
则有可逆矩
阵P
使或令
从而有
由P 可逆，
有
是A 的n
个线性无关的特征向量.
反之，若A 有n 个线性无关的特征向量么，用分块矩阵有
由于矩阵
6． 已知
A. B. C. D.
可逆.
故
即A
与对角矩阵相似.
满足
那
且
线性无关. 按定义知
矩阵B 满足其中是
A 的伴随矩阵
，则
（
）。
【答案】A
【解析】对于矩阵方程首先要恒等变形，左乘A 并利用
B=2E.
因为于是两边取行列式，得又
所以
得即
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