2017年兰州大学数学与统计学院801高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）. A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C 【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有 又 所以有 即A*右乘初等阵P （1，2）得-B* 解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此 第 2 页，共 42 页 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 分别为A ，B 的伴随矩阵， 即 3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）. A. 必相等 B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在 若选故选B. 4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩 【答案】D 【解析】 从而否定A , 若选 中选三个向量组 从而否定C , 则线性方程组（ ）• 5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵 . A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题设知所以 二、分析计算题 第 3 页，共 42 页 6． 在中，求由向量（i=l，2, 3, 4）生成的子空间的基与维数. 设 【答案】（1）把按列排成矩阵. 对它用初等行变换来求极大线性无关组 . 它的第1，2, 4列，是列向量的极大线性无关组. 因而原矩阵的第1，2, 4列也是自己的列向量的极大线性无关组. 即基 . 7． 设 是 的极大线性无关组，也是是 的一组 是3维的. （2）按（1）题同样的方法，可求出 的一组基，而其维数是2. 上的一 表示实数域R 上全体2阶方阵按加法和数乘构成的R 上的线性空间，定义 个双线性函数为 其中 （1）证明f 是（2）求f 在 上的对称双线性函数. 的基 . 下的度量矩阵. 【答案】（1）由f 是双线性函数，只需证明f 是对称的，A , B如题设，则 故f 是 上的对称双线性函数。 下的度量矩阵为 （2） f 在基 第 4 页，共 42 页
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