2017年昆明理工大学质量发展研究院843高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
分别为A ，B 的伴随矩阵，
即
则线性方程组（ ）•
3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】
4． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时， 5． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
是（ ）二次型.
【答案】B 【解析】
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
二、分析计算题
6． 设
是数域P 上线性空间V 的一组基，
是V 的基； 的对偶基，并用
表示
的对偶基. 是
的对偶基，令
（1）证明：（2）求【答案】（1）设
则（2）设
于是 7． 设
证明对任一
【答案】设正交变换
把对任一
所以有
8． 设m ，n 是自然数，证明：
这里
【答案】必要性：若由故
V ，则存在整数u ，使得
由
是
的对偶基，由
是V 的基，故也是V 的基. 则
的对偶基为
是一实二次型，有
是A 的特征多项式的根，
且
化为
则
于是
这与
矛盾，
有公共根
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