2017年昆明理工大学质量发展研究院843高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
故选B.
3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
4． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
，
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 二、分析计算题 6． 设A ，B 分别为m ×n 与m ×s 矩阵，X 为n ×s 未知矩阵. 证明：矩阵方程AX=B有解（A ，B ）. 且当r （A ）=r（A ，B ）=r=n时，AX=B有唯一解；当r 【答案】设 的列向量组. 若AX=B有解 则得 即B 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，从 而 因此，r （A ）=r（A ，B ）. 反之，若r （A ）=r（A ，B ）=r，则B 的列向量组必是A 的列向量组的线性组合，且以组合系数为列向量所构成的n ×s 矩阵便是AX=B的解. 当r=n时由于每个__， 的解唯一，从而AX=B的解也唯一；当 r 7． 计算n 级行列式 但显 然 即 分别为矩阵A 与B 【答案】记 用1， 表示n 个不同的n 次单位根，令 则应用乘法规则 所以上式可改写为 因为
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