2018年聊城大学数学科学学院814高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1．
用式
【答案】设
由题设，结合余式定理可得
结合余式定理可得
由拉格朗日插值公式可得
2． 用
除
求商
与余式
【答案】
用分离系数的竖式进行计算
除
的余式依次为
试求用
除
的余
所以
3． 设T , S 为线性空间
的如下两个变换:
证明:对任意正整数k 均有
【答案】T , S 显然都是的线性变换. 又因为
故
假定（1）式对后成立, 下证对
即成立:
时（1）式成立.
故（1）式对任意正整数k 均成立.
4． 已知A , B, C是n 阶矩阵，A 可逆，并且
（1）
证明
可逆，并求其逆。
由 Hamilton-Caylay 定理知
由A 可逆，则
于是
上式两边左乘C , 右乘B , 得
（2）
注意到A 可逆，由
故因为
所以
5． 设A 为三阶实对称矩阵，且满足
（1）求A 的全部特征值；
【答案】设A 的特征多项式为
可逆.
已知A 的秩
（2）当k 为何值时，矩阵【答案】 （1）
为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵.
为A 的一个特征值，对应的特征向量为。，则
于是
由条件
推知
又由于
因为实对称矩阵A 必可对角化，且秩
所以
故矩阵A 的全部特征值为
（2）解法1矩阵于是当
时，矩阵
仍为实对称矩阵. 由（1）知，
的全部特征值大于零. 故矩阵
为正定矩阵.
解法2实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P ，使得
于是
所以
而
又因为
正定，所以其顺序主子式均大于0, 即
因此，当
时，矩阵
为正定矩阵.
是V 的一组基. 又设线性变换
下
的全部特征值为
故有
6． 设V 是实数域R 上三维向量空间，
试求（1）T 在（2）T 的逆变换（3）
在
在
中的变换公式;
中的变换公式; 中的变换公式.
下的矩阵为A , 由
知
【答案】 （1）设T 在基