2017年湖北师范大学高等数学(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
（l ）曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
（2）曲线上点P （x ，y ）处的法线与z 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.
，它在点（x ，y ）处的切线斜率为y ＇，依条件，有y ＇【答案】（l ）设曲线方程为y=y（x ）=x2此为曲线方程所满足的微分方程.
，
故该点处法线斜率为（2）设曲线方程为y=y（x ）. 因它在点P （x ，y ）处的切线斜率为y ＇.
，于是有由条件知PQ 之中点位于Y 轴上，故点Q 的坐标是（-x ，0）
，即微分
方程为
2． 镭的衰变有如下的规律:镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知，镭经过1 600年后，只余原始量R 0的一半. 试求镭的存量R 与时间t 的函数关系.
【答案】设在时刻t ，镭的存量为
，即
。
，将t=1600，
，代入上式，得
，即
，
，由题设条件知，
，即
，
积分得
R=R0，因t=0时，故C=R0，所以
3． 如果在时刻t 以
表示什么？ 【答案】
4． 函数
【答案】
因为所以
又因为以
在
在
，
总有内无界。 ，总有不是当
。
的流量（单位时间内流过的流体的体积或质量）向一水池注水，
那么
表示在时间段[t1，t 2]内向水池注入的水的总量。
内是否有界？这个函数是否为
，
使，使
时的无穷大。
，
从而，从而
时的无穷大? 为什么？
，，所
二、计算题
5． 当时，无穷小和是否同阶？是否等价？
，同阶，不等价。
，同阶，等价。
【答案】（1）（2）
6． 求过点（﹣1, 0, 4），且平行于平面交的直线的方程.
【答案】设所求直线方程为
所求直线平行于平面又所求直线与直线
，故有
，又与直线相
相交，故有
即
联立式（8-9）（8-10）式可得
因此所求直线方成为
7．
设
为曲线
上相应于t 从0变到1
的曲线弧。把对坐标的曲线积分
化成对弧长的曲线积分。
【答案】方向余弦为
，注意到参数t 由小变到大，因此的切向量的
从而
8． 求下列函数所指定的阶的导数:
求
求
【答案】（l ）利用莱布尼茨公式
其中
（2）由
及布莱尼公式
。
三、证明题
9． 设△ABC 的三边，
，并证明
=a，
=b，
=c，三边中点依次为D ，E ，F ，试用向量a ，b ，c 表示
，
【答案】如图所示，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，因此