2017年西北大学数学学院632数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 令f 是R 上周期为
的函数，当
时满足
(1) 证明f 的傅里叶级数具有形式
并写出的积分表达式. (2) 该傅里叶级数是否一致
且
收敛？若是，请给出证明；若不是，请说明理由. (3) 证明
【答案】(1) 由于
.
(2) 不一致收敛. 由傅里叶级数收敛定理知
由于(3) 由干
在
上连续，但和函数在
是奇函数，所以f 的傅里叶级数具有形
另
上不连续，所以该傅里叶级数不一致收敛.
上可积且平方可积，所以Parseval 等式成立
2．
【答案】根据题意，
满
足
则
证明存在非负单调数
列使
得
易知显然由(1) 若若c=0，则
当b —c=0时，取(2) 若
当
在
当
理，存在
使得
使得
综上所述，存在.
使得
时，
必有时
，
必有
又
在某在某
又
又
(或者用保号性及介值定理，存
处达到最大值，
处达到最小值，利用推广的罗尔定理，存在
；
(或者用保号性及介值定
. 则
, 若
则
则由推广的罗尔定理知，
存在
使得
当c=0时，
由于
使
得得
.
证.
3． 给定两正数
证明:
再
由利用推广的罗尔定理，存
在
使得
使结论得
这样继续下去，
得到存在非负的单调增数列
与作出其等差中项
皆存在且相等.
可知
与等比中项
，一般的令
与
【答案】由又因为因此，
，所以
为单调递减，
因而
为单调递增. 并且
对
与
皆存在且根等.
即都是有界的. 根据
两边取极限，得
单调有界定理知|于是a=b, 即
4． 证明:
若
在
【答案】对
的极限都存在.
设
上可积, F
在上连续，且除有限个点外
有
使其包含等式
上
对
则
有
不成立的有限个点
作分割使
为部分分点，在每个小区
间
于是
使用拉格朗日中值定理，则分别存
在
因为
在
上可积，所以令
有
二、解答题
5． 设
试分别讨论【答案】⑴当
时极限时
且
是否存在，为什么？
可得
(2) 当
是
从而
时不存在. 因为，若取则|时但
又对
故此时
6． 将定义在设
（1）（2）
’
不存在.
有
但是.
上的函数，延拓到R 上，使延拓后的函数为（i ）奇函数；（ii ）偶函数.
【答案】设f , g 分别为奇函数和偶函数，则（1）将f （X ）分别作奇延拓和偶延拓，得到
（2）设
为f （x ）在R 上的奇延拓，则当
时，
当
对于奇函数
时，必有
于是
所以
同理，f （x ）在R 上的偶延拓为
7． 问a 和b 为何值时，点
【答案】
组
解得
8． 设
【答案】对当
取
讨论
即
时，有
于是
为曲线
由
的拐点？ 为该曲线的拐点知，
由此得到方程
在原点处的连续性、偏导数存在性及可微性.
属于(0, 0) 的艰域