2017年西北大学数学学院632数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：数.
【答案】
由
的凸性知
所有
即
.
故
2． 设
令(1
) (2)
求证：
上可导，且导数只在
(0，1) 上可导，且导数只在
且
处不连续； 处不连续. 听以由连续性定理知.
为上的凸函数.
为
上的凸函数
.
因为函数.
为
上的凸函数，所以
为区间
上凸函数
函数
为
上的凸函
【答案】(1) 因为又当
时，
因此从而
在上一致收敛. 于是函数
第 2 页，共 28 页
上可导，且
又因为
上可导，导数在点
处不连续，所以
在(2) 不连续.
3． 设函数，的周期为2π，且
【答案】傅里叶系数
由于f (x ) 在
上连续，由收敛定理知对
有
在端点x=0和
处，其傅里叶级数收敛于
令
有
4． 证明
：
【答案】考虑二重积分因为.
所以故
且
分别取D 为，
试利用，的傅里叶展开计算
的和数.
上可导，且导数只在点，
故由(1) 知
处不连续.
1) 上可导，在(0，且导数只在点
处
二、解答题
5． 设
求级数
的和
的收敛区间为
则
第 3 页，共 28 页
【答案】设令
令则
则
从而
6． 求摆线
【答案】因
的质心，设其质量分布是均匀的.
故质心坐标为
7． 设二元函数
(1) 试比较
【答案】(1
)
(2)
若
使
在[0, 1]上连续，在正方形区域与
有
由y 的任意性可知
使
故
8． 导出曲边梯形
【答案】区间
绕y 轴旋转所得立体的体积公式为
所对应的柱壳体积
由微元法可知所求体积为
第 4 页，共 28 页
上连续. 记
的大小并证明之；
>成立的(你认为最好的) 充分条件.
对于任意的x 都成立，
则
下面证明上面条件为充分条件，显
然
(2) 给出并证明使等式