2018年上海财经大学统计与管理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 从正态总
. 中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明:不管
，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布. 由于n=100，
，
先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
【答案】设的先验分布为其中所以
故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
2． 若事件A 与B 互不相容，且
，证明:
【答案】
3． 令【答案】
4． 设
是来自
的样本，
为其次序统计量，令
证明【答案】令作变换
相互独立.
则
的联合密度函数为
表示服从二项分布
的随机变量，试证明:
其中
联合密度函数为
其雅可比行列式绝对值为
该联合密度函数为可分离变量，因而相互独立，且
5． 来自正态总体于对称，
且
【答案】记正态分布则容量为
的容量为的样本中位数是证明的密度函数关
的分布函数与密度函数分别为
的密度函数为
与
的样本中位数
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
于是y 的密度函数为
其中可得
这表明密度函数同时还有
6． 设
证明:
与
是偶函数，从而
的密度函数
关于
对称，
与
分别是标准正态分布
的分布函数与密度函数，依据它们的性质
为独立的随机变量序列，且
服从大数定律.
所以由
服从大数定律.
【答案】因为由马尔可夫大数定律知
的独立性可得
7． 设为
是来自泊松分布的样本，证明:当样本量n 较大时，的近似置信区间
【答案】由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本
均
，
此可作为枢轴量，对给定
利用标准正态分布的
分位数
括号里的事件等价于
. 因而得
其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式
故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为则有其中
和
可表示为
这就证明了的近似
置信区间为
事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有
于是，的近似
置信区间可进一步简化为
8． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为p （x ，y ），证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p X ，y ）（可分离变量，即
【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为独立，则
，即p （X ，y ）可分离变量，其中
，因而
可得
和，
，
又问与边际密度函数有什么关系？
，必要性是显然的，因为X 与Y 相互
.