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一、填空题

1．

【答案】【解析】对

作变量代换。令x=t+1，则t=x-1, dt=dx，则

由右图可知原式= 2． 级数

【答案】

收敛的充要条件是a 应满

足_____。

=_____。

【解析】由题意得

当a>0时收敛，当a<0时发散，当a=0时，原级数为

发散，则原级数收

则原级数

敛的充要条件a>0。

3． 己知函数

在x=0连续，则以_____ 【答案】

4． 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:

（1）数列{xn }有界是数列{xn }收敛的_____条件。数列{xn }收敛是数列{xn }有界的 _____条件。

（2）f （x ）在x 0的某一去心邻域内有界是在x 0的某一去心邻域内有界的_____条件。

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存在的_____条件。 存在是f （x ）

（3）f （x ）在x 0的某一去心邻域内无界是与 在x 0的某一去心邻域内无界的_____条件。 （4）f （x ）当件。

【答案】（l ）必要，充分。 （2）必要，充分。 （3）必要，充分. （4）充分，必要。

5． 下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论:

设函数f （x ，y ）在点（0，0）的某邻域内有定义，且则有（ ）.

曲面曲线曲线【答案】（C ）

在点在点在点时的右极限

及左极限

的_____条件，都存在且相等是

是f （x ） 存在_____条

，，

的一个法向量为

的一个切向量为

的一个切向量为

【解析】函数f （x ，y ）在点（0，0）处的两个偏导数存在，不一定可微分，故（A ）不对. 由于函数存在偏导数不能保证可微分，从而不能保证曲面z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在切平 面，因而（B ）不对; 若z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在连续偏导数，曲，而不是（3，-1，1），故（B ）也不对. 面在该点处有切平面，其法向量是（3，-1，-1）

取x 为参数，则曲线x=x，y=0，z=f（x ，0）在点（0，0，f （0，0））处的一个切向量为（l ，0，3），故 （C ）正确. 6． 设D 是由不等

式

在极坐标下先

【答案】

7． 已知幂级数为_____。

【答案】（0, 2]

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与

后的二次积分为_____。

及所确定，则二重积

分

在x=2处收敛，在x=0处发散，则幂级数的收敛域

【解析】利用阿贝尔定理，

由于幂级数

处收敛；

由于幂级数

处发散。故该幂级数的收敛域为

8． 设常数k>0, 函数

【答案】当当又

故曲线的个数为2。 9． 积分

【答案】

的值等于_____。

时, 时,

与x 轴有两个交点, 因此函数

, 令, 故函数

在

在x=2处收敛，

则该幂级数在在x=0处发散，

则该幂级数在。

内零点的个数为_____。 , 得驻点x=e 在（0, e]上单调增加;

上单调减少。

,

, 故函数f （x ）在

从而x=e为函数f （x ）的极大值点。由于驻点惟一, 极大值也是最大值且最大值

在内的零点

【解析】交换积分次序，得

10．设

是由曲面

在

面上的投影区域表示为

的体积

在第一象限部分记为

，由对称性得

是由

平面上的曲线

围

围成，则

的体积V=_____。

【答案】【解析】

成，见图。于是

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