2018年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 求不定积分
【答案】令
则
2． 把重积分
其中【答案】
3． 设f （u ）是可微函数
，
【答案】故
4． 计算下列各题:
（1）（2）
试求:
作为积分和的极限, 计算这个积分值.
, 并用直线网
与
分割这个正方形为许多小
正方形, 每一小正方形取其右顶点作为其节点.
（3）【答案】 （1）
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（2）
（3
）
5． 用积分判别法讨论下列级数的敛散性:
⑴⑶
【答案】（1）设而级数
（2
）设
收敛.
则
故
所以积分
（3）设
发散, 从而级数
则
故
在
上非负递减, 又
发散, 所以原级数发散. （4） 设
则
（2）
（
4）
则
在
上非负递减，
又积分
收敛，
从
在上非负递减，而
发散.
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故在上非负递减.
I ）当p=l时,
当q>l时收敛, q ≤l 时发散. 所以在p=l时, 原级数在q>l时收敛, 在q ≤l 时发散. II
）当
时,
注意到, 当
时, 对任意的q , 取
, 有
从而积分收敛, 进而原级数收敛.
当
时, 因为
所以此时积分发散, 进而原级数发散.
二、证明题
6． 设f 为
【答案】令令a=0, 得
上以p 为周期的连续周期函数, 证明对任何实数a , 恒有
, 则,
故有
从而F （a ）=c（常数）,
, 则在
于是, F （x ）在[a, b]上严格递增, 故当
8． 给定积分满足
证明:
【答案】利用复合函数的微分法, 有
通过计算易知
7． 证明:若函数f , g在区间[a, b]上可导, 且
【答案】令
则
时,
内有.
, 即
, 区域D 变为
, 如果变换
, 作正则变换
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