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一、证明题

1． 设S 为光滑闭曲面，V 为S 所围的区域，函数函数

偏导连续，证明：

【答案】(1) 由高斯公式：

令

有

即

(2) 由(1) 式用

代替可得

类似地可以得出：

三式相加，再由第一、二型曲面积分关系可得

2． 证明级数

【答案】因为所以

当

时，数

列收敛. 因为

而

发散，所以

发散. 故原级数为条件收敛.

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在V 上与S 上具有二阶连续偏导数，

条件收敛.

所以该级数为交错级数. 令

单调递减，

且

则

由莱布尼茨判别法知级

数

3． 设

【答案】因为

由利用

判别法可判断，引理，由汙

则

令

取极限得

结论得证. 证明：当

时，有

收敛，且有界，：收敛.

单调递减且

由题设条件知

收敛，即得

二、解答题

4． 求a , b 之值，使得椭圆

【答案】椭圆的面积

包含圆

且面积最小.

欲使S 最小，必须要

先求a ，b 所满足的约束条件

求椭圆与圆相切，在切点处纵坐标y 值和斜率值应相等，即

从式(2) 中解出构造拉格朗日函数

由

解之可得：

代入式(1) 可得：

由于实际问题存在最小值，所以这唯一的极值点必是最小值点，最小值

5． 设

（1）若在某（2）证明若

内有则在某

内有

保不等式性只能从

内

但

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问是否必有

推出

例如，

取

为什么？

【答案】（1

）不一定有

则在0的任一空心邻域

（2）

令

时，有

同时，由于取

6． 设

【答案】记

则，

试证：当

时，显然

在

，则

当

所以存在

时

，

即在空心邻

域

内

有

因

为

所

以即

使得当

时，有

即

由

于

所以存

在

使得

当

上连续，所以可在积分号下求导，即

令

从

当x = 0时

，

7． (1) 求表面积一定而体积最大的长方体；

(2) 求体积一定而表面积最小的长方体. 【答案】(1) 设长方体的长、宽、高分别为制条件为：

令

解得

因所求长方体体积的最大值，且稳定点只有一个，所以最大值定而体积最大的长方体是正立方体.

(2)

设长方体的长、宽、高分别为

设

体积为v ,

则表面积

令

限制条件故表面积一

表面积为

则体积为

限

则

(C 为常数) ，

所以

因此，

当

时

，

故

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