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一、计算题

1 图1所示水平圆板可绕z 轴转动. 在圆板上有一质点M 作圆周运动, 已知其速度的大小为常量, ．等于

质点M 的质量为m , 圆的半径为r , 圆心到z 轴的距离为/, 点M 在圆板上的位置由角

确

定, 如图所示. 如圆板的转动惯量为J , 并且当点M 离z 轴最远在点摩擦和空气阻力略去不计, 求圆板的角速度与角的关系

.

时, 圆板的角速度为零. 轴的

图1

【答案】如图2所示.

图2

由于外力对z 轴的矩为零, 所以系统对该轴动量矩保持不变. 当M 在其中, 因为

所以

时,

当M 转过角时,

2． 试用拉格朗日方程推导刚体平面运动的运动微分方程.

【答案】平面运动刚体有三个自由度, 取其质心坐标

和转角的广义坐标. 刚体的动能为

将刚体所受外力向质心简化, 即为三个广义力

代入拉格朗日方程, 有

即

此即为刚体平面运动微分方程.

3 图所示均质滚子质量m=10kg, 半径r=0.25m, 能在斜面上保持纯滚动, 弹簧刚度系数k=20N/m, ．

阻尼器阻力系数c=10N·s/m.求:（1）无阻尼的固有频率；（2）阻尼比；（3）有阻尼的固有频率；（4）此阻尼系统自由振动的周期

.

图

【答案】选取质心的位移x 为广义坐标, 系统的运动微分方程为

运动方程

消去F 和得:

（1）无阻尼的固有频率

（2）阻尼比

（3）有阻尼的固有频率

（4）此阻尼系统自由振动的周期

4． 将如下问题抽象为力学模型，充分发挥你们的想象、分析和抽象能力，试画出它们的力学简图及受力图。

（1）用两根细绳将日光灯吊挂在天花板上； （2）水面上的一块浮冰； （3）—本打开的书静止于桌面上； （4）一个人坐在一只足球上。 【答案】如图所示。

图

5 均质圆轮A 质量为．

半径为

以角速度

绕杆OA 的A 端转动, 此时将轮放置在质量为

的

另一均质圆轮B 上, 其半径为如图1所示. 轮B 原为静止, 但可绕其中心轴自由转动. 放置后, 轮A 的重量由轮B 支持. 略去轴承的摩擦和杆）OA 的重量, 并设两轮间的摩擦因数为f. 问自轮A 放在轮B 上到两轮间没有相对滑动为止, 经过多少时间？